Für welche dieser Parabeln sind die Wendetangenten orthogonal? Für welche Parabel gehen die Wendetangenten durch A(0|3)?
Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung soll durch den Ursprung gehen und für x = 1 einen Wendepunkt haben.
- Zeige, daß es unendlich viele Parabeln dieser Art gibt. Welche Punkte haben alle diese Parabeln gemeinsam?
- Für welche dieser Parabeln sind die Wendetangenten orthogonal?
- Für welche Parabel gehen die Wendetangenten durch A(0|3)?
1 Antwort
Die allgemeine Formel für eine Parabel vierter Ordnung lautet
wobei die Forderung nach Symmetrie und die Forderung dass die Parabel durch den Ursprung gehen soll weitere Einschränkungen ermöglicht.
Die Forderung dass an der Stelle ein x=1 ein Wendepunkt existiert, ist eine Anfrage an die zweite Ableitung
Damit wären a und c nicht mehr unabhängig voneinander. Aber immerhin ist ein Parameter weiterhin frei wählbar. Darum gibt es viele dieser Parabeln; jedoch mit immer drei gleichen Punkten, wie die Grafik zeigt.
Die Wendetangenten, die die Kurven an den Stellen x=-1 und x=+1 berühren, sollen orthogonal sein, also senkrecht zueinander stehen. Das ist nur möglich wenn ihre Steigungen die Werte +1 und -1 annehmen.
Da unsere Parabelfunktion mittlerweile nur noch einen einzigen Parameter hat, kann ihre Ableitung an den Stellen x=-1 und x=+1 herangezogen werden, um diesen letzen Parameter zu bestimmen
Hier die Grafik zum Ergebnis.
Der einzige Koeffizient ist hier negativ ausgefallen. Ein betragsgleicher positiver Koeffizient würde zu einem y-achssymmetrischen Graph führen.
Für die Wendetangente, die durch den Punkt ( 0 | 3 ) geht, wird ein besonderer Ansatz gemacht.
Die Forderung nach der Passage durch den Punkt ( 0 | 3 ) führt sofort zur Bestimmung von h=3, womit der Ansatz nur noch einen Parameter enthält.
Nun ist zu bedenken, dass diese neue Wendetangentenforderung nicht mehr für die Steigung +1 oder -1 gilt, sondern neu verhandelt werden muß. Wir haben eine unbekannte Tangentensteigung g und eine unbekannte Steigung für die Parabel im Punkt x=1, von der wir nur wissen, dass sie gleich sein müssen. Der einzige freie Parameter der Parabel sei meinetwegen a genannt. Somit haben wir zwei Unbekannte a und g. Und wir haben zwei Gleichungen, die sich aus der Forderung nach der Gleichheit der Steigungen ergibt und eine zweite Gleichung, die fordert, dass die Wendetangenten die Parabel an der Stelle x=1 auch berührt.
Hier die Grafik zum Ergebnis.
