Aufgabe 16 (Atomarer Formfaktor) - Technische Universität Darmstadt

Prof. Dr. H. Wipf<br />

Dipl.-Phys. M. Jung<br />

Übungen zur Vorlesung Festkörperphysik I im SS 2001<br />

<strong>Aufgabe</strong> <strong>16</strong> (<strong>Atomarer</strong> <strong>Formfaktor</strong>)<br />

5. Übungsblatt<br />

TECHNISCHE<br />

UNIVERSITÄT<br />

DARMSTADT<br />

In der Vorlesung wurde gezeigt, dass für den atomaren <strong>Formfaktor</strong> unter der Voraussetzung<br />

einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung der Elektronen in einem Atom gilt:<br />

( ∆k<br />

⋅ r)<br />

Berechnen Sie den atomaren <strong>Formfaktor</strong> f für den Fall einer konstanten Ladungsdichte ρ<br />

innerhalb einer Kugel mit dem Radius R.<br />

<strong>Aufgabe</strong> 17 (<strong>Atomarer</strong> <strong>Formfaktor</strong> und Streuintensitäten)<br />

∞<br />

∫<br />

0<br />

2 sin<br />

f = 4π r ρ(<br />

r)<br />

⋅ dr<br />

∆k<br />

⋅ r<br />

Betrachtet wird eine Röntgenstrukturuntersuchung an einer NaCl Pulver Probe nach dem<br />

Debye-Scherrer-Verfahren mit einem unpolarisierten Eingangsstrahl (Wellenlänge<br />

λ = 0,154 nm). Ganz allgemein läßt sich die gestreute Intensität wie folgt angeben:<br />

I = I ⋅ S ⋅ D ⋅ m ⋅ L<br />

hkl<br />

0<br />

hkl<br />

2<br />

hkl<br />

Zur Konstanten I0 sind dabei alle festen Größen wie Eingangsintensität und geometrische<br />

Vorgaben zusammengefaßt.<br />

Shkl ist der Strukturfaktor des betreffenden Reflexes und Dhkl der entsprechende Debye-<br />

Waller-Faktor.<br />

Der sogenannte Flächenhäufigkeitsfaktor (multiplicity factor) mhkl berücksichtigt die Zahl der<br />

reziproken Gittervektoren mit gleichem h²+k²+l², da alle reziproken Gittervektoren, die diese<br />

Bedingung erfüllen bei einer Pulverprobe zu demselben Streuwinkel 2ϑ beitragen. Im realen<br />

Raum entspricht dies der Zahl der äquivalenten Flächen mit gleichem Shkl und gleichem<br />

Netzebenenabstand, aber unterschiedlicher Orientierung im Kristall. Z.B. gilt im kubischen<br />

Fall für h²+k²+l² = 1, dass m100 = 6 ist und für h²+k²+l² = 3, dass m111 = 8 ist.<br />

Der Lorentz-Polarisationsfaktor (Lorentz-polarization factor) Lhkl wurde in der Vorlesung nicht<br />

erwähnt. Er ergibt sich aus dem Wirkungsquerschnitt der Elektronen für Röntgenstrahlung.<br />

Aufgrund der geometrischen Anordnung des Debye-Scherrer-Verfahrens erhält man:<br />

Lhkl<br />

2<br />

1+<br />

cos ( 2ϑ)<br />

=<br />

sin( ϑ)<br />

⋅sin(<br />

2ϑ)<br />

Berechnen Sie mit Hilfe von <strong>Aufgabe</strong> <strong>16</strong> die Verhältnisse der Intensitäten der (111)- und<br />

(200) Reflexe unter der Annahme, die Elektronen seien homogen auf das Volumen der<br />

Ionen verteilt, wobei die Ionenradien 0,098 nm für Na + und 0,181 nm für Cl - betragen. Der<br />

Gitterparameter hat den Wert 0,563 nm. Der Strukturfaktor für die NaCl Struktur wurde in<br />

<strong>Aufgabe</strong> 14 a) bestimmt. Der Debye-Waller-Faktor sei einfachheitshalber konstant.<br />

hkl<br />

hkl<br />

bitte wenden

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Prof. Dr. H. Wipf<br />

Dipl.-Phys. M. Jung<br />

Übungen zur Vorlesung Festkörperphysik I im SS 2001<br />

<strong>Aufgabe</strong> 18 (Van-der-Waals Bindung und Kompressibilität)<br />

TECHNISCHE<br />

UNIVERSITÄT<br />

DARMSTADT<br />

In der Vorlesung wurde zur Beschreibung der van-der-Waals Wechselwirkung der häufig<br />

verwendete Lennard-Jones Ansatz für das Potential Φ vorgestellt:<br />

Φ<br />

() r<br />

⎡⎛<br />

σ ⎞<br />

= 4ε<br />

⋅ ⎢⎜<br />

⎟<br />

⎢⎣<br />

⎝ r ⎠<br />

12<br />

6<br />

⎛ σ ⎞ ⎤<br />

− ⎜ ⎟ ⎥<br />

⎝ r ⎠ ⎥⎦<br />

Wobei ε die Dimension einer Energie und σ die Dimension einer Länge hat.<br />

Des weiteren wurde gezeigt, dass durch Aufsummation über alle Atompaare aus dem<br />

Potential Φ die Bindungsenergie pro Atom, u bestimmt werden kann. Drückt man die<br />

Abstände der Atome in Einheiten des kürzesten Atomabstandes R aus, so ergab sich<br />

allgemein:<br />

12<br />

6<br />

⎡ ⎛ σ ⎞ ⎛ σ ⎞ ⎤<br />

u(<br />

R)<br />

= 2ε<br />

⋅ ⎢A12<br />

⋅⎜<br />

⎟ − A6<br />

⎜ ⎟ ⎥<br />

⎢⎣<br />

⎝ R ⎠ ⎝ R ⎠ ⎥⎦<br />

Die Konstanten A12 und A6 sind allein abhängig von der Kristallstruktur, d. h. der räumlichen<br />

Anordnung der Atome.<br />

Aus der Bedingung ∂u/∂R = 0 erhält man den tatsächlichen Abstand R0 und damit die<br />

tatsächliche Bindungsenergie u0:<br />

( ) ⎟ 2<br />

ε ⎛ A ⎞<br />

= = − ⋅⎜<br />

6<br />

u0<br />

u R0<br />

2 ⎜<br />

⎝ A12<br />

⎠<br />

Für eine fcc Struktur ergibt sich A6 = 14,43 und A12 = 12,13.<br />

a) Berechnen Sie allgemein für eine fcc Struktur den (isothermen) Kompressionsmodul K<br />

allein in Abhängigkeit von u0 und R0:<br />

∂v<br />

= −<br />

K v ∂p<br />

T<br />

1 1<br />

v sei das Volumen eines Atoms.<br />

(Hinweis: p = - ∂u/∂v)<br />

b) Berechnen Sie den (isothermen) Kompressionsmodul K für einen Argon-Kristall.<br />

Verwenden Sie dazu die experimentellen Werte u0 = -0,08 eV und R0 = 0,375 nm.<br />

Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem experimentellen Wert K = 2,7�10 9 N/m².